Question

已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線C：y²＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F在直線l：x－my－＝0上．

(Ⅰ)若m＝2，求拋物線C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂直，垂足為A₁，B₁，△AA₁F，△BB₁F的重心分別為G，H．求證：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m，拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因?yàn)榻裹c(diǎn)F(，0)在直線l上，得 　　p＝m2， 　　又m＝2，故p＝4． 　　所以拋物線C的方程為y2＝8x． 　　(Ⅱ)證明：因?yàn)閽佄锞�C的焦點(diǎn)F在直線l上， 　　所以p，lm2， 　　所以拋物線C的方程為y2＝2m2x． 　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　由消去x得 　　y2－2m3y－m4＝0， 　　由于m≠0，故Δ＝4m6＋4m4＞0， 　　且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4， 　　設(shè)M，M2分別為線段AA1，BB1的中點(diǎn)， 　　由于2 　　可知G()，H()， 　　所以 　　 　　所以GH的中點(diǎn)M． 　　設(shè)R是以線段GH為直徑的圓的半徑， 　　則R2＝(m2＋4)(m2＋1)m2． 　　設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)N(－，0)， 　　則＝ 　�。�m4(m4＋8m2＋4) 　　＝m4[(m2＋1)( m2＋4)＋3m2]＞m2(m2＋1)( m2＋4)＝R2． 　　故N在以線段GH為直徑的圓外．