Question

（本題滿分15分）已知m是非零實數(shù)，拋物線（p>0）

的焦點F在直線上。

（I）若m=2，求拋物線C的方程

（II）設(shè)直線與拋物線C交于A、B，△A,△的重心分別為G,H

求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的焦點在以線段GH為直徑的圓外。

Answer 1

解析：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。

(Ⅰ)解：因為焦點F(,0)在直線l上，

得

又m=2,故

所以拋物線C的方程為

設(shè)A(x₁,y₁) ,  B(x_2,y₂)

由消去x得

y²－2m³y－m⁴＝0，

由于m≠0，故＝4m⁶＋4m⁴＞0，

且有y₁＋y₂＝2m³，y₁y₂＝－m⁴，

設(shè)M₁，M₂分別為線段AA₁，BB₁的中點，

由于2

可知G（），H（），

所以

       所以GH的中點M.

設(shè)R是以線段GH為直徑的圓的半徑，

則

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)線與x軸交點N，

則

=m⁴(m⁴+8 m²+4)

=m⁴[(m²+1)( m²+4)+3m²]

＞m² (m²+1)( m²+4)=R².

故N在以線段GH為直徑的圓外.