Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，首項為1的等比數(shù)列{b_n}的公比為q，S₂=a₃=b₃，且a₁，a₃，b₂成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）對一切正整數(shù)n成立，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d．
由a₃=b₃，得，故有．①
由a₁，a₃，b₄成等差數(shù)列，得，故有．②
由①②解得a₁=3，q=3，
∴a_n=3+（n-1）•3=3n，．
（2）∵，
，
若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）對一切正整數(shù)n成立，
則3n=b+nlog_a3，
∴，解得a=，b=0．
分析：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d．由a₃=b₃，得，故有．由a₁，a₃，b₄成等差數(shù)列，得，故有．由此能求出{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）由，，知若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）對一切正整數(shù)n成立，則3n=b+nlog_a3，由此能求出實數(shù)a，b的值．
點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，尤其是恒成立問題的轉化．