Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中點(diǎn)．AF=

3

（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直線CE與面ADEB所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取CE中點(diǎn)P，連接FP，BP根據(jù)中位線的性質(zhì)可知FP∥DE，且FP=

1

2

DE．同時(shí)AB∥DE，且AB=

1

2

DE．進(jìn)而推斷出AB∥FP，且AB=FP，判斷出
ABPF為平行四邊形進(jìn)而可知AF∥BP，最后根據(jù)線面平行的判定定理可推斷出AF∥平面BCE．
（2）利用AF，CD判斷出△ACD為正三角形，推斷出AF⊥CD，進(jìn)而利用AB⊥平面ACD，DE∥AB推斷出DE⊥AF，根據(jù)AF⊥CD，CD∩DE=D推斷出AF⊥平面CDE，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知平面BCE⊥平面CDE．
（3）過(guò)C作CG⊥AD于G，連接EG，則G為AD中點(diǎn)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可推斷出AB⊥CG，同時(shí)CG⊥AD，CG∩AD=G進(jìn)而推斷出CG⊥面ADEB
判斷∠CEG為直線CE與面ADEB所成的角． 然后分別利用勾股定理求得EG和CG，進(jìn)而求得tan∠CEG答案可得．

解答：解：（1）取CE中點(diǎn)P，連接FP，BP，
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE
（2）∵AF=

3

∴CD=2，所以△ACD為正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD又AF?平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又BP∥AF∴BP⊥平面CDE
又∵BP?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）過(guò)C作CG⊥AD于G，連接EG，則G為AD中點(diǎn)．
∵AB⊥平面ACD，CG?面ACD
∴AB⊥CG
∵CG⊥AD，CG∩AD=G
∴CG⊥面ADEB
∴CG⊥EG，∠CEG為直線CE與面ADEB所成的角．
在Rt△EDG中，EG=

DG2+EG2

=

12+22

=

5

，
在Rt△CDG中，CG=

CD2-DG2

=

22-12

=

3

，
在Rt△CEG中，tan∠CEG=

CG

GE

=

3

5

=

15

5

．即直線CE與面ADEB所成的角的正切值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角．考查了學(xué)生綜合基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用．