Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點(diǎn)，F是DC上的點(diǎn)且DF=AB，PH為△PAD邊上的高.

（1）證明：PH⊥平面ABCD；

（2）若PH=1，AD=，FC=1，求三棱錐E-BCF的體積；

（3）證明：EF⊥平面PAB.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）（3）見解析

【解析】

(1)證明:因?yàn)?/span>PH為△PAD邊上的高,所以PH⊥AD,又因?yàn)?/span>AB⊥平面PAD，平面PAD,所以AB⊥PH,又因?yàn)?/span>ABAD=A,所以PH⊥平面ABCD;

(2)因?yàn)?/span>E是PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面BCF的距離等于點(diǎn)P到平面ABCD距離的一半,即=,又因?yàn)?/span>=,所以三棱錐E-BCF的體積為;

(3)取PA的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、DQ，則因?yàn)?/span>E是PB的中點(diǎn)，所以EQ∥AB且EQ=AB，又因?yàn)?/span>DF=AB且DF∥AB，所以EQ∥DF且EQ=DF，所以四邊形EQDF是平行四邊形，所以EF∥DQ，由(1)知AB⊥平面PAD，所以AB⊥DQ,又因?yàn)?/span>PD=AD，所以DQ⊥PA,因?yàn)?/span>PAAB=A,所以DQ⊥平面PAB,因?yàn)?/span>EF∥DQ，所以EF⊥平面PAB.