Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）-sin（2x-π）．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡解析式，再由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出f（x）的增區(qū)間；
（2）根據(jù)圖象的平移法則求出g（x）的解析式，由x的范圍求得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，再由正弦函數(shù)得性質(zhì)求出g（x）的最值．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）-sin（2x-π）
=

3

sin2（x+

π

4

）+sin2x=

3

cos2x+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得，
-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ(k∈Z)，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，
則g（x）=2sin[2(x-

π

3

)+

π

3

]=2sin(2x-

π

3

)，
由0≤x≤

π

2

得，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
當(dāng)2x-

π

3

=-

π

3

時，即x=0時，g（x）取最小值是-

3

，
當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

時，即x=

5π

12

時，g（x）取最大值是2
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值是2、-

3

．

點評：本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．