Question

10．設(shè)集合A={（x，y）|y=2x-1，∈N^*}，B={（x，y）|y=ax²-ax+a，x∈N^*}，問是否存在非零整數(shù)a，使A∩B=∅．

Answer 1

分析 假設(shè)A∩B≠∅，則方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=a{x}^{2}-ax+a}\end{array}\right.$有正整數(shù)解，消去y得x的二次方程，則由△≥0得a的范圍，根據(jù)a為非零整數(shù)求得a值，在把a(bǔ)代入上述二次方程求出x進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

解答 解：假設(shè)A∩B≠∅，則方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=a{x}^{2}-ax+a}\end{array}\right.$有正整數(shù)解，
消去y，得ax²-（a+2）x+a+1=0．（*）
由△≥0，得（a+2）²-4a（a+1）≥0，解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
因a為非零整數(shù)，∴a=±1，
當(dāng)a=-1時(shí)，代入（*），解得x=0或x=-1，而x∈N^*．故a≠-1．
當(dāng)a=1時(shí)，代入（*），解得x=1或x=2，符合題意．
故存在a=1，使得A∩B≠∅，此時(shí)A∩B={（1，1），（2，3）}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查方程思想，考查學(xué)生解決問題的能力．