Question

18．已知C${\;}_{2013}^{1006}$+C${\;}_{2013}^{1007}$=C${\;}_{n}^{\frac{n}{2}}$，（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，x∈R，n∈N^*，則$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$的值為（　�。�

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由條件求得n=10，a₀=1，在所給的等式中，令x=1+$\frac{1}{2}$，可得1+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=0，即可求出$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$的值．

解答 解：∵C${\;}_{2013}^{1006}$+C${\;}_{2013}^{1007}$=C${\;}_{n}^{\frac{n}{2}}$，
∴n=2014，
∵（2x-3）ⁿ=（2x-3）²⁰¹⁴=[-1+2（x-1）]²⁰¹⁴=a₀+a₁（x-1）¹+…a_n（x-1）ⁿ，x∈R，n∈N，∴a₀=1．
在[-1+2（x-1）]²⁰¹⁴=a₀+a₁（x-1）¹+…a_n（x-1）ⁿ中，令x=1+$\frac{1}{2}$，可得1+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=0，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是給變量賦值的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于中檔題．