Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，又a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₄=b₄-2．
（1）求數(shù)列{a_n}及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè){b_n}的公比為q，根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立關(guān)于q、d的方程組，解之得d=8且q=3，即可得到{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得c_n=（8n-7）•3^n-1，從而得到S_n=1•3⁰+9•3¹+17•3²+…+（8n-7）•3^n-1，將等式兩邊都乘以3，利用錯(cuò)位相減法并結(jié)合等比數(shù)列的求和公式化簡，可得S_n=

1

2

（8n-11）•3ⁿ+

11

2

．

解答：解：（1）設(shè){b_n}的公比為q，可得
∵a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₄=b₄-2，
∴

1+d=q2 1+3d=q3-2

，解之得d=8且q=3
因此，a_n=1+8（n-1）=8n-7，b_n=3^n-1；
（2）由（1）得c_n=a_n•b_n=（8n-7）•3^n-1
∴S_n=1•3⁰+9•3¹+17•3²+…+（8n-7）•3^n-1，
兩邊都乘以3，可得3S_n=1•3¹+9•3²+17•3³+…+（8n-7）•3ⁿ，
相減得：-2S_n=1+8（3+3²+…+3^n-1）-（8n-7）•3ⁿ
=1+

24(1-3n-1)

1-3

-（8n-7）•3ⁿ=1+4（3ⁿ-3）-（8n-7）•3ⁿ=-（8n-11）•3ⁿ-11
∴S_n=

1

2

（8n-11）•3ⁿ+

11

2

．

點(diǎn)評：本題給出等差、等比數(shù)列滿足的條件，求它們的通項(xiàng)公式并求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和．著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和與等比數(shù)列的求和公式等知識，屬于中檔題．