Question

給定一個正方體與三個球，其中一個球與該正方體的各面都相切，第二個球與正方體的各棱都相切，第三個球過正方體的各個頂點，則此三球的半徑之比是______．

Answer 1

設(shè)正方體的棱長為a，可得
∵第一個球與該正方體的各面都相切
∴第一個球的直徑等于正方體的棱長a，故球的半徑為r₁=

1

2

a
又∵第二個球與正方體的各棱都相切
∴第二個球的直徑等于正方體的相對兩條棱的距離
故球的半徑為正方體面上的對角線長：即2r₂=

2

a?r₂=

2

2

a
∵第三個球過正方體的各個頂點，
∴第三個球的直徑等于正方體的對角線長
即2r₃=

a2+a2+a2

=

3

a?r₃=

3

2

a
可得r₁：r₂：r₃=

1

2

a：

2

2

a：

3

2

a=1：

2

：

3

故答案為：1：

2

：

3