Question

給定一個(gè)正方體與三個(gè)球，其中一個(gè)球與該正方體的各面都相切，第二個(gè)球與正方體的各棱都相切，第三個(gè)球過(guò)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，則此三球的半徑之比是    ．

Answer 1

【答案】分析：第一個(gè)球是正方體的內(nèi)切球，不難理解球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)；再看第二個(gè)球，它與正方體的各條棱都相切，觀察正方體對(duì)角面矩形的兩條相對(duì)的棱，得到球大圓的兩條平行切線，從而得到球的直徑為這兩條平行切線之間的距離，即正方體面上的對(duì)角線長(zhǎng)；最后看第三個(gè)球，是正方體的外接球，不難得到球大圓是正方體對(duì)角面的外接圓，可得球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)．由此不難得出三個(gè)球的半徑之比．
解答：解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，可得
∵第一個(gè)球與該正方體的各面都相切
∴第一個(gè)球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)a，故球的半徑為r₁=a
又∵第二個(gè)球與正方體的各棱都相切
∴第二個(gè)球的直徑等于正方體的相對(duì)兩條棱的距離
故球的半徑為正方體面上的對(duì)角線長(zhǎng)：即2r₂=a⇒r₂=a
∵第三個(gè)球過(guò)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，
∴第三個(gè)球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)
即2r₃=⇒r₃=
可得r₁：r₂：r₃=a：a：=1：
故答案為：1：
點(diǎn)評(píng)：本題以正方體的內(nèi)切球、棱切球、外接球?yàn)槔�，考查了球的�?nèi)接外切等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．