Question

已知拋物線方程為y²=2px（p＞0），過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AA₁、BB₁垂直于準(zhǔn)線，垂足分別為A₁、B₁，AB的中垂線交x軸于點(diǎn)R．求證：
（1）x₁x₂=

p2

4

，y1y2=-p2；         
（2）通徑長為2p，且通徑是最短的焦點(diǎn)弦；
（3）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；    
（4）∠A₁FB₁=90°；
（5）

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2

p

；              
（6）|FR|=

|AB|

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線方程為x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2mpy+p²=0，利用韋達(dá)定理，x₁•x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)通徑的概念，可得結(jié)論；
（3）PQ的中點(diǎn)是M且到準(zhǔn)線的距離是d．設(shè)P到準(zhǔn)線的距離d₁=|PF|，Q到準(zhǔn)線的距離d₂=|QF|．結(jié)合中位線的定義與拋物線的定義可得：

|AF|+|BF|

2

=

|AB|

2

=半徑，進(jìn)而得到答案．
（4）由拋物線的定義及內(nèi)錯角相等，可得∠AFA₁=∠A₁FK，同理可證∠BFB₁=∠B₁FK，由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，可得答案．
（5）AB傾斜角為α，則

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1-cosα

p

+

1+cosα

p

=

2

p

；
（6）設(shè)A₁B₁的中點(diǎn)為O₁，連接O₁F，證明|FR|=

|AB|

2

，只要證明O₁F⊥AB．

解答： 解：（1）設(shè)直線方程為x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2mpy+p²=0，
∴y₁y₂=-p²，x₁•x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

；
（2）根據(jù)通徑的概念，令x=

p

2

，可得y=±p，∴通徑長為2p，且通徑是最短的焦點(diǎn)弦；
（3）由于過焦點(diǎn)的弦為AB，AB的中點(diǎn)是M，M到準(zhǔn)線的距離是d．
而A到準(zhǔn)線的距離d₁=|AF|，Q到準(zhǔn)線的距離d₂=|BF|．
又M到準(zhǔn)線的距離d是梯形的中位線，故有d=

|AF|+|BF|

2

，
由拋物線的定義可得：

|AF|+|BF|

2

=

|AB|

2

，等于半徑．
所以圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，所以圓與準(zhǔn)線是相切．
（4）如圖：設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，∵A、B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為A₁、B₁，
由拋物線的定義可得，AA₁=AF，∴∠AA₁F=∠AFA₁，又由內(nèi)錯角相等得∠AA₁F=∠A₁FK，∴∠AFA₁=∠A₁FK．
同理可證∠BFB₁=∠B₁ FK．   
由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，
∴∠A₁FK+∠B₁FK=∠A₁FB₁=90°，
（5）AB傾斜角為α，則

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1-cosα

p

+

1+cosα

p

=

2

p

；
（6）設(shè)A₁B₁的中點(diǎn)為O₁，連接O₁F，則
因為AB的中垂線交x軸于點(diǎn)R，
所以要證明|FR|=

|AB|

2

，只要證明O₁F⊥AB．O₁（-

p

2

，

y1+y2

2

），F(xiàn)（

p

2

，0），
∴kO1F=-

y1+y2

2p

，
設(shè)直線方程為x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2mpy+p²=0，
∴y₁+y₂=2mp，
∴kO1F=-

y1+y2

2p

=-m，
∴O₁F⊥AB，
∴MO₁FR是平行四邊形
∴|FR|=MO₁=

|AB|

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的性質(zhì)應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系的判定，屬于中檔題．