Question

求函數(shù)f（x）=x²-2x+3分別在區(qū)間[-1，0]，[2，3]，[0，3]，（-∞，0]，[2，+∞]，（-1，0]，（-1，0），（0，3）上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，然后求出對(duì)稱軸的方程，進(jìn)一步根據(jù)自變量所在的定區(qū)間進(jìn)行討論，求出函數(shù)的值域

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2
∴函數(shù)為開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸為：x=1的拋物線．
∴①x∈[-1，0]上是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，6]
②x∈[2，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，6]
③x∈[0，3]上不是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（3）=6，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[2，6]
④x∈（-∞，0]上是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)f（x）_min=f（0）=3
∴函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，+∞）
⑤x∈[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)f（x）_min=f（2）=3
∴函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，+∞）
⑥x∈（-1，0]上是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，6）
⑦x∈（-1，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈（3，6）
⑧x∈[0，3]上不是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（3）=6
∴函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[2，6）
故答案為：①x∈[-1，0]，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，6]
②x∈[2，3]，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，6]
③x∈[0，3]，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[2，6]
④x∈（-∞，0]，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，+∞）
⑤x∈[2，+∞），函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，+∞）
⑥x∈（-1，0]，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[3，6）
⑦x∈（-1，0），函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈（3，6）
⑧x∈[0，3]，函數(shù)的值域?yàn)閒（x）∈[2，6）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式的互化，對(duì)稱軸與定區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，進(jìn)一步求出函數(shù)的值域．