【題目】定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界. 已知函數(shù)f(x)=1+a( )x+( )x;g(x)=
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)值域并說明函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上是否為有界函數(shù)?
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)已知m>﹣1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=1+a( )x+( )x , ∴當(dāng)a=1時, ,
∵y= 和y= 在R上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)在(﹣∞,0)上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴f(x)>f(0)=3,
∴f(x)在(﹣∞,0)的值域為(3,+∞),
∴|f(x)|>3,
故不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M成立,
∴函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上不是有界函數(shù);
(Ⅱ)∵函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),
∴由題意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,
∴﹣3≤f(x)≤3在[1,+∞)上恒成立,
∴ 在[0,+∞)上恒成立,
∴ 在[0,+∞)上恒成立,
∴ ,
令t=2x , 由x∈[0,+∞),可得t≥1,
∴ , ,
下面判斷函數(shù)h(t)和p(t)的單調(diào)性:
設(shè)1≤t1<t2 , 則t2﹣t1>0,4t1t2﹣1>0,t1t2>0,2t1t2+1>0,
∴ ,
,
∴h(t1)>h(t2),p(t1)<p(t2),
∴h(t)在[1,+∞)上遞減,p(t)在[1,+∞)上遞增
∴h(t)在[1,+∞)上的最大值為h(1)=﹣5,
p(t)在[1,+∞)上的最小值為p(1)=1,
∴﹣5≤a≤1,
∴實數(shù)a的取值范圍為[﹣5,1];
(Ⅲ)g(x)= =﹣1+ ,
①當(dāng)m>0時,x∈[0,1],
∵y=mx2+1在[0,1]上單調(diào)遞增,
∴g(x)在[0,1]上遞減,
∴g(1)≤g(x)≤g(0),即 ,
∵ ,
∴|g(x)|<1,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴T(m)≥1;
②當(dāng)m=0時,g(x)=1,|g(x)|=1,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴T(m)≥1;
③當(dāng)﹣1<m<0時,x∈[0,1],
∵y=mx2+1在[0,1]上單調(diào)遞減,
∴g(x)在[0,1]上遞增,
∴g(0)≤g(x)≤g(1),即 ,
∴ ,
∵函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),由有界函數(shù)的定義可得,
|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,
∴ .
綜合①②③,當(dāng)m≥0時,T(m)的取值范圍是[1,+∞),
當(dāng)﹣1<m<0時,T(m)的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)將a=1代入f(x)可得 ,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f(x)在(﹣∞,0)上是單調(diào)遞減函數(shù),即可求得f(x)>f(0),從而得到f(x)的值域,根據(jù)有界函數(shù)函數(shù)的定義,即可判斷出f(x)不是有界函數(shù);(Ⅱ)根據(jù)有界函數(shù)的定義,可得|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,利用參變量分離轉(zhuǎn)化為 在[0,+∞)上恒成立,令t=2x , 則 , ,問題轉(zhuǎn)化為求h(t)的最大值和p(t)最小值,利用函數(shù)單調(diào)性的定義,分別判斷出函數(shù)h(t)和p(t)的單調(diào)性,即可求得最值,從容求得a的取值范圍.(Ⅲ)將函數(shù)g(x)= 變形為g(x)=﹣1+ ,對參數(shù)m進行分類討論,當(dāng)m>0時,確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得g(x)的取值范圍,從而確定|g(x)|的范圍,利用有界函數(shù)的定義,轉(zhuǎn)化為|g(x)|≤T(m)任意x∈[0,1]恒成立,利用所求得的g(x)的范圍,即可求得T(m)的取值范圍,同理研究當(dāng)m=0和當(dāng)﹣1<m<0時的情況,綜上所求范圍,即可求得T(m)的取值范圍.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ
(2)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos2(x+ ),g(x)=1+ sin2x.
(1)設(shè)x=x0是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸,求g(x0)的值.
(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),若不等式|h(x)﹣m|≤1在[﹣ , ]上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左,右焦點分別為.點在橢圓上,直線過坐標(biāo)原點,若, .
(1)求橢圓的方程;
(2) 設(shè)橢圓在點處的切線記為直線,點在上的射影分別為,過作的垂線交軸于點,試問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知方程C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0,
(1)若方程C表示圓,求實數(shù)m的范圍;
(2)在方程表示圓時,該圓與直線l:x+2y﹣4=0相交于M、N兩點, ,求m的值;
(3)在(2)的條件下,定點A(1,0),P在線段MN上運動,求直線AP的斜率取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα).
(1)若 ,且α∈(0,π),求角α的值;
(2)若 ,求 的值.
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【題目】根據(jù)下列條件,求直線的方程:
(Ⅰ)過直線l1:2x﹣3y﹣1=0和l2:x+y+2=0的交點,且垂直于直線2x﹣y+7=0;
(Ⅱ)過點(﹣3,1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為﹣4.
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【題目】已知函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值之和為12,則實數(shù)a的值為( )
A.
B.2
C.3
D.4
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