Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求證：面SAB⊥面SBC；
（2）求面SAD與面SDC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能夠證明面SAB⊥面SBC．
（2）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出面SAD與面SDC所成角的余弦值．

解答： （1）證明：∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB 
∵BC?面SBC
∴面SAB⊥面SBC．
（2）解：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，
∴S（0，0，1），D（

1

2

，0，0），C（1，1，0），
∴

SD

=(

1

2

，0，-1)，

SC

=（1，1，-1），
設平面SCD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • SD = 1 2 x-z=0 n • SC =x+y-z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，1），
又面SAD的法向量

m

=（0，1，0），
cos＜

n

，

m

＞=

-1

6

=-

6

6

，
∴面SAD與面SDC所成角的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．