Question

給出以下五個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x的零點(diǎn)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）內(nèi)；
②平面內(nèi)的動點(diǎn)P到點(diǎn)F（-2，3）和到直線l：2x+y+1=0的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線；
③?x＞0，不等式2x+

a

x

≥4成立的充要條件a≥2；
④若將函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則φ的最小值是

π

12

；
⑤過M（2，0）的直線l與橢圓

x2

2

+y²=1交于P₁，P₂兩點(diǎn)，線段P₁P₂中點(diǎn)為P，設(shè)直線l的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于-

1

2

，
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理即可判斷出；
②由于點(diǎn)F（-2，3）在直線l：2x+y+1=0上，因此其軌跡為過點(diǎn)F（-2，3）且與直線l垂直的一條直線，故不正確；
③利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
④將函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（＞0）個單位后變?yōu)?span id="c1qbr6o" class="MathJye">sin[2(x-φ)-

π

3

]=sin(2x-2φ-

π

3

)為偶函數(shù)，則2φ+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），即可得出φ的最小值；
⑤設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，兩式相減可得x₀+2y₀k₁=0，k2=

y0

x0

，即可k₁k₂等于-

1

2

．

解答： 解：①由函數(shù)f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x，可知：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此最多有一個零點(diǎn)，而f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)

1

3

＜0，f(

1

2

)=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)

1

2

＞0，∴f(

1

3

)f(

1

2

)＜0，因此函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）內(nèi)，正確；
②由于點(diǎn)F（-2，3）在直線l：2x+y+1=0上，因此其軌跡為過點(diǎn)F（-2，3）且與直線l垂直的一條直線，故不正確；
③當(dāng)a＞0時，?x＞0，不等式2x+

a

x

≥2

2x• a x

=2

2a

≥4?a≥2，正確；
④若將函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（＞0）個單位后變?yōu)?span id="txpkhp1" class="MathJye">sin[2(x-φ)-

π

3

]=sin(2x-2φ-

π

3

)為偶函數(shù)，則2φ+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），因此φ的最小值是

π

12

，正確；
⑤設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，則

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，∴x₀+2y₀k₁=0，k2=

y0

x0

，
∴k₁k₂等于-

1

2

，正確．
綜上可得：①③④⑤正確．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理、拋物線的定義、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象變換、“點(diǎn)差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．