Question

已知f(x)=

10x-10-x

10x+10-x

．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）證明f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）求出f（-x）的表達式，看其和f（x）的關(guān)系下結(jié)論．
（2）用單調(diào)性的定義取點，作差，變形，判斷來證明即可．
（3）把原函數(shù)整理成 102x=

1+y

1-y

利用10^2x的范圍求值域即可．

解答：（1）∵f（-x）=

10-x-10x

10-x+10x

=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)
（2）f(x)=

102x-1

102x+1

=1-

2

102x+1

在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＞x₂
∴f(x1)-f(x2)=

2

102x2+1

-

2

102x1+1

=

102x1-102x2

(102x1+1)(102x2+1)

而y=10^x在R上為增函數(shù)，∴102x1＞102x2，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）102x=

1+y

1-y

，而10^2x＞0，即

1+y

1-y

＞0，∴-1＜y＜1．
所以f（x）的值域是（-1，1）．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的證明以及對函數(shù)單調(diào)性的應用，是一道不可多得的好題．在用定義證明或判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時，基本步驟是取點，作差或作商，變形，判斷．