Question

已知函數(shù)f（x）=logm

x-3

x+3

．
（1）求函數(shù)的定義域；        
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）在定義域上的增減性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）、根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，可得

x-3

x+3

＞0，解可得x的范圍，即可得答案；
（2）、分析可得f（x）的定義域關(guān)于關(guān)于原點對稱，進而計算f（-x）的值，判斷可得f（-x）=-f（x），即可得答案；
（3）、根據(jù)題意，分析可得[α，β]?（3，+∞），進而設(shè)x₁，x₂∈[α，β]，且x₁＜x₂，對f（x₁）-f（x₂）變形可得，f（x₁）-f（x₂）=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

，分0＜m＜1與m＞1兩種情況討論f（x₁）-f（x₂）的符號，即可得答案．

解答：解：（1）對于函數(shù)f（x）=logm

x-3

x+3

，
有

x-3

x+3

＞0，
解可得，x＞3或x＜-3，
則函數(shù)f（x）=logm

x-3

x+3

的定義域為{x|x＞3或x＜-3}；
（2）由（1）可得，f（x）=logm

x-3

x+3

的定義域為{x|x＞3或x＜-3}，關(guān)于原點對稱，
f（-x）=log_m

-x-3

-x+3

=log_m

x+3

x-3

=-logm

x-3

x+3

，
即f（-x）=-f（x），
f（x）為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)題意，f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），則[α，β]?（3，+∞）．
設(shè)x₁，x₂∈[α，β]，且x₁＜x₂，則x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，
∴當(dāng)0＜m＜1時，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
當(dāng)m＞1時，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故當(dāng)0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)；m＞1時，f（x）為增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的判斷及應(yīng)用，涉及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，注意判斷之前先求函數(shù)的定義域，即奇偶性與單調(diào)性必須先滿足定義域．