Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（2，0），其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定雙曲線、橢圓的離心率，求出幾何量，即可求得橢圓的方程；
（2）由（1）得過B點(diǎn)的直線為y=kx+1，聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓方程可求D的坐標(biāo)，及k的取值范圍，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1，解方程可求得結(jié)論．
解答：解：（1）雙曲線的離心率，∴橢圓的離心率為
∵橢圓的長半軸長為a=2，=，∴c=
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓方程為；…（5分）
（2）由橢圓，設(shè)直線方程為y=kx+1，聯(lián)立，可得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-，所以yD=，…（8分）
依題意k≠0，k≠±．
因?yàn)閨BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
當(dāng)y_D＞0時(shí)，y_D²-y_D+1=0，無解，…（11分）
當(dāng)y_D＜0時(shí)，y_D²-y_D-1=0，解得或（舍去），…（10分）
所以=，解得…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交位置關(guān)系，考查等比數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．