Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-3x+b

3x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用奇函數(shù)定義f（x）=-f（x）中的特殊值求a、b的值；
（2）按按取點，作差，變形，判斷的過程來即可．
（3）首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．

解答： （1）解：因為f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為R，所以f（0）=0，f（-1）+f（1）=0
所以

-1+b

3+a

=0，

- 1 3 +b

1+a

+

-3+b

9+a

=0，
所以a=3，b=1；
（2）證明：設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2(3x2-3x1)

3(3x1+1)(3x2+1)

因為y=3^x在實數(shù)集上是增函數(shù)且函數(shù)值恒大于0，故f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)
（3）解：由（2）知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
又因為f（x）是奇函數(shù)，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因為f（x）為減函數(shù)，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0⇒k＜-

1

3

．
所以k的取值范圍是k＜-

1

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．