Question

12．如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，AB=3$\sqrt{2}$，AD=3．
（1）求證：△ADC是直角三角形；
（2）求△ABD的面積及BD的長．

Answer 1

分析 （1）由AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，利用正弦定理可得：AD²+AC²=DC²，即可證明；
（2）由于sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD，可得sin∠BAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAD}$．可得S_△BAD=$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$．利用余弦定理可得：BD²．

解答 （1）證明：∵點D在BC邊上，AD•sin∠C+AC•sin∠ADC=DC•sin∠DAC，
由正弦定理可得：AD²+AC²=DC²，
∴∠DAC=90°．
∴△ADC是直角三角形．
（2）解：∵sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD，
又∠BAD是銳角，∴sin∠BAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAD}$=$\frac{1}{3}$．
∴S_△BAD=$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3×\frac{1}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
由余弦定理可得：BD²=$（3\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}-2×3\sqrt{2}×3×cos∠BAD$=3，
解得BD=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形的面積計算公式、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．