Question

如圖所示，若點(diǎn)P為正方體AC₁的棱A₁B₁的中點(diǎn)，求截面PC₁D和AA₁B₁B所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體AC₁的棱長為2，求出平面PC₁D的法向量和平面AA₁B₁B的法向量，由此能求出截面PC₁D和AA₁B₁B所成的銳二面角的余弦值．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體AC₁的棱長為2，
則P（2，1，2），C₁（0，2，2），D（0，0，0），

DP

=（2，1，2），

DC1

=（0，2，2），
設(shè)平面PC₁D的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DP =2x+y+2z=0 n • DC1 =2y+2z=0

，取y=2，得

n

=（1，2，-2），
由題意平面AA₁B₁B的法向量

m

=（1，0，0），
設(shè)截面PC₁D和AA₁B₁B所成的銳二面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

3

，
∴截面PC₁D和AA₁B₁B所成的銳二面角的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．