Question

20．已知函數(shù)f（x）=cosxsinx，給出下列四個結論：
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)；
④f（x）的圖象關于直線x=$\frac{3π}{4}$對稱．
其中正確的結論是③④．

Answer 1

分析 根據(jù)二倍角公式將函數(shù)f（x）進行化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質和已知判斷①錯誤；
根據(jù)最小正周期的求法可判斷②錯誤；
根據(jù)正弦函數(shù)的單調性可判斷③正確；
由正弦函數(shù)的對稱性可判斷④正確．

解答 解：函數(shù)f（x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，
對于①，當f（x₁）=-f（x₂）時，sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）
∴2x₁=-2x₂+2kπ，即x₁+x₂=kπ，k∈Z，故①錯誤；
對于②，由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x知最小正周期T=π，故②錯誤；
對于③，令-$\frac{π}{2}$+2π≤2x≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z得-$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z
當k=0時，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，f（x）是增函數(shù)，故③正確；
對于④，將x=$\frac{3π}{4}$代入函數(shù)f（x）得，f（$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$為最小值，
故f（x）的圖象關于直線x=$\frac{3π}{4}$對稱，④正確．
綜上，正確的命題是③④．
故答案為：③④．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的二倍角公式和正弦函數(shù)的性質與應用問題，是基礎知識的考查．