Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f″（x）是y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”，可以證明，任何三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：
①任意三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都關(guān)于點(diǎn)（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對稱：
②存在三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的對稱中心；
③存在三次函數(shù)有兩個(gè)及兩個(gè)以上的對稱中心；
④若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，則：g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）=-1005.5
其中所有正確結(jié)論的序號是（　　）

• A、①②④
• B、①②③
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對稱中心；
②③利用三次函數(shù)對稱中心的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷；
④由g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

的對稱中心是（

1

2

，-

1

2

），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-

b

3a

）+2b=0，
∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對稱，即①正確；
∵任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，點(diǎn)（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對稱中心，即②正確；
任何三次函數(shù)都有且只有一個(gè)對稱中心，故③不正確；
∵g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，
∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=

1

2

，
∵g（

1

2

）=

1

3

×（

1

2

）³-

1

2

×（

1

2

）²-

5

12

=-

1

2

，
∴函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

的對稱中心是（

1

2

，-

1

2

），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）=-1005.5，故④正確．
故正確結(jié)論為：①②④．
故選：A

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡計(jì)算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于難題．