Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

n（n+1），b_n是a_n與a_n+1的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求b_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

1

(2n-1)bn

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若滿足不等式b_n+λ＜T_n 的正整數(shù)n有且僅有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n求a_n，然后利用等差中項(xiàng)求b_n；
（Ⅱ）將b_n=n+

1

2

代入c_n求出c_n=

1

2n-1

-

1

2n+1

，相鄰項(xiàng)相消求出T_n，然后代入b_n+λ＜T_n 構(gòu)造了函數(shù)f（n）=T_n-b_n在（0，+∞）且n∈N^*上是減函數(shù)，利用函數(shù)解題即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n；故a_n=n．
又b_n 是a_n 與 a_n+1的等差中項(xiàng)，所以b_n=

an+an+1

2

，得b_n=n+

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
所以T_n=1-

1

2n+1

．                           
設(shè)f（n）=T_n-b_n=1-

1

2n+1

-(n+

1

2

)=1-(n+

1

2

+

1 2

n+ 1 2

)，則f（n）在（0，+∞）且n∈N^*上是減函數(shù)．
因?yàn)闈M足不等式b_n+λ＜T_n  的正整數(shù)有且僅有兩個(gè)，所以應(yīng)滿足

b2+λ＜T2 b3+λ≥T3

解得-

37

14

≤λ＜-

17

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合了數(shù)列，不等式以及函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解題，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)f（n），利用函數(shù)性質(zhì)解題；突破口是采取的思路是通性通法，順著思路向下解題即可．