Question

數(shù)列{a_n}的首項a1=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an，n為偶數(shù) an+ 1 4 ，n為奇數(shù).

，記bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…
（1）求a₂，a₃；
（2）判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
（3）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）把n=1，2分布代入到已知遞推公式即可求解
（2）由已知遞推公式先求出b1=a1-

1

4

=a-

1

4

≠0，b2=a3-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，b3=a5-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)，
從而猜想，{b_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的定義進行證明即可
（3）由已知遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分布進行求解

解答：（1）解：由題意可得，a2=a1+

1

4

=a+

1

4

，a3=

1

2

a2=

1

2

a+

1

8

（2）證明：因為a4=a3+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，
所以a5=

1

2

a4=

1

4

a+

3

16

．
所以b1=a1-

1

4

=a-

1

4

≠0，b2=a3-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，b3=a5-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)．
猜想，{b_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列．證明如下：
因為bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，(n∈N*)
所以{b_n}是首項為a-

1

4

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（3）解：由已知遞推公式可得，a2n-1=(a-

1

4

)(

1

2

)n-1+

1

4

，
a2n=(a-

1

4

)(

1

2

)n-1+

1

2

綜上可得，a_n=

(a- 1 4 )( 1 2 ) n-1 2 + 1 4 ，n為奇數(shù) (a- 1 4 )( 1 2 ) n-2 2 + 1 2 ，n為偶數(shù)

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，等比數(shù)列的定義在數(shù)列的證明中的應(yīng)用及等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用．