已知M(1+cos2x，1)，N(1，
3
sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常數(shù)），且y=
OM
•
ON
（O為坐標原點）
（Ⅰ）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]時，f（x）的最大值為2009，求a的值．
分析：（Ⅰ）題目給出了兩點的坐標，即兩向量
OM
和
ON
的坐標，直接運用兩向量的數(shù)量積的坐標表示可求函數(shù)f（x）．
（Ⅱ）把求出的函數(shù)表達式化積后求其在x∈[0，
π
2
]時的最大值，由最大值等于2009可以求a的值．
解答：解：（Ⅰ）因為M(1+cos2x，1)，N(1，
3
sin2x+a)
所以f(x)=
OM
•
ON
=1+cos2x+
3
sin2x+a=2sin(2x+
π
6
)+1+a．
（Ⅱ）f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1+a
因為0≤x≤
π
2
，所以
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6

當2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
時，f（x）max=3+a
所以3+a=2009，解得a=2006．
點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了三角函數(shù)的化積問題，三角函數(shù)的化積是常見題型，應(yīng)重點掌握．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（其中M＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）設(shè)α∈(
π
6
，  
2π
3
)，  β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，  f(
α
2
)=
3
5
，  f(
β
2
)=-
4
5
，求cos2（α-β）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x=cos2
(2n-1)πm
，n∈Z}，當m為4022時，集合A的元素個數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值M，最小正周期T．
（2）若f(α)=
8
5
，求cos2α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）求值sin2120°+cos180°+tan45°-cos2（-330°）+sin（-210°）
（2）化簡：
sin(α-
π
2
)cos(α+
3π
2
)tan(π-α)
tan(-π-α)sin(-π-α)

（3）已知tanα=m，求sinα、cosα．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知．

        (1)求函數(shù)f(x)的最大值M，最小正周期T．

(2)若，求cos2α的值．

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