Question

已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（其中M＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）設(shè)α∈(

π

6

，  

2π

3

)，  β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，  f(

α

2

)=

3

5

，  f(

β

2

)=-

4

5

，求cos2（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象看出振幅和周期，做出ω的值，根據(jù)函數(shù)過的一個點，把點的坐標代入解析式，根據(jù)φ的三角函數(shù)值和范圍，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的角的范圍和角的函數(shù)值，求出要用的函數(shù)值，這是一個給值求值的過程，最后有角的變換，一個湊角的過程，再根據(jù)二倍角公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）由圖知，M=1，∵周期T=4(

7π

12

-

π

3

)=π，
∴ω=

2π

π

=2∴f（x）=sin（2x+φ）
又∵f(

7π

12

)=-1，
∴sin(

7π

6

+φ)=-1，
∴

7π

6

+φ=2kπ+

3π

2

(k∈Z)
∴φ=2kπ+

π

3

∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

∴f(x)=sin(2x+

π

3

)．
（2）∵f(

α

2

)=

3

5

，  f(

β

2

)=-

4

5

，
∴sin(α+

π

3

)=

3

5

，  sin(β+

π

3

)=-

4

5

．
∵α∈(

π

6

，  

2π

3

)，  β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，
∴α+

π

3

∈(

π

2

，  π)，  β+

π

3

∈(-

π

2

，  0)
于是cos(α+

π

3

)=-

4

5

，  cos(β+

π

3

)=

3

5

．
∵sin(α-β)=sin[(α+

π

3

)-(β+

π

3

)]=sin(α+

π

3

)cos(β+

π

3

)-cos(α+

π

3

)sin(β+

π

3

)=

3

5

•

3

5

-(-

4

5

)•(-

4

5

)=-

7

25

，
∴cos2(α-β)=1-2sin2(α-β)=1-2×(-

7

25

)2=

527

625

．

點評：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法和給值求值問題，在解題規(guī)程中一定要注意角的變換問題，注意把未知的教轉(zhuǎn)化成已知角來應(yīng)用和求解．