Question

已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為（，0），斜率為I的直線(xiàn)l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（I）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓離心率為，右焦點(diǎn)為（，0），可知c=，可求出a的值，再根據(jù)b²=a²-c²求出b的值，即可求出橢圓G的方程；
（II）設(shè)出直線(xiàn)l的方程和點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，消去y，根據(jù)等腰△PAB，求出直線(xiàn)l方程和點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而求出|AB|和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，求出三角形的高，進(jìn)一步可求出△PAB的面積．
解答：解：（I）由已知得，c=，，
解得a=，又b²=a²-c²=4，
所以橢圓G的方程為．
（II）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m，
由得4x²+6mx+3m²-12=0．①
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x1＜x₂），AB的中點(diǎn)為E（x，y），
則x==-，
y=x+m=，
因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此時(shí)方程①為4x²+12x=0．
解得x₁=-3，x₂=0，
所以y₁=-1，y₂=2，
所以|AB|=3，此時(shí)，點(diǎn)P（-3，2）．
到直線(xiàn)AB：y=x+2距離d=，
所以△PAB的面積s=|AB|d=．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查待定系數(shù)法求橢圓的方程和橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．