Question

已知函數(shù)f（x）=

log2(1-x)+1，-1≤x＜0 x3-3x+2，0≤x≤a

的值域是[0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，1]
• B、[1，

  3

  ]
• C、[1，2]
• D、[

  3

  ，2]

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出-1≤x＜0時(shí)，f（x）的范圍（1，2]，再由題意得，[0，1]⊆{y|y=x³-3x+2，0≤x≤a}⊆[0，2]．畫出函數(shù)y=x³-3x+2（0≤x≤a）的圖象，令y=2，結(jié)合圖象，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

log2(1-x)+1，-1≤x＜0 x3-3x+2，0≤x≤a

，
∴-1≤x＜0時(shí)，f（x）為減函數(shù)，1＜f（x）≤2，
∵函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，
∴[0，1]⊆{y|y=x³-3x+2，0≤x≤a}⊆[0，2]．
畫出函數(shù)y=x³-3x+2（0≤x≤a）的圖象，
y′=3x²-3，在0≤x≤1，y′≤0，x＞1時(shí)，y′＞0，
即[0，1]是減區(qū)間，y∈[0，2]，（1，+∞）為增區(qū)間，
且當(dāng)y=2時(shí)，x³-3x=0，x=

3

（0，-

3

舍去），
∴由圖象可知a的取值范圍是[1，

3

]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．