Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P（1，

2

3

）在橢圓C上，且PF₂⊥x軸．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過右焦點(diǎn)F₂且斜率為1的直線l被橢圓C截得的弦長|AB|；
（3）E、F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線PE的斜率與PF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為

x2

1+b2

+

y2

4b2

=1，由P（1，

2

3

）在橢圓上，能求出橢圓方程．
（2）依題意知直線l方程為y=x-1，由 

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒7x2-8x-8=0，由此利用弦長公式能求出弦長|AB|．
（3）設(shè)直線PE方程y=k（x-1）+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0，由此能證明直線EF的斜率為定值

1

2

．

解答： （1）解：由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程為

x2

1+b2

+

y2

4b2

=1，…（2分）
因?yàn)镻在橢圓上，所以

1

1+b2

+

9

4b2

=1，解得b²=3，或b²=

3

4

（舍去）．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）．
（2）解：依題意知直線l方程為y=x-1，
設(shè)兩交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒7x2-8x-8=0…（6分）
∴x1+x2=

8

7

，x1•x2=-

8

7

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x 2)2-4x1x2]

=

2[( 8 7 )2+4× 8 7 ]

=

24

7

．…（8分）
（3）證明：設(shè)直線PE方程：得y=k（x-1）+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0，…（10分）
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F）．因?yàn)辄c(diǎn)P（1，

3

2

）在橢圓上，
所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y_E=kx_E+

3

2

-k，…（12分）
又直線PF的斜率與PE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，
可得x_F=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y_F=-kx_F+

3

2

+k，…（13分）
所以直線EF的斜率k_EF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xF+xE)+2k

xF-xE

=

1

2

．
即直線EF的斜率為定值，其值為

1

2

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，考查直線EF的斜率為定值的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．