Question

已知點A（0，-2），橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，F(xiàn)是橢圓的焦點，直線AF的斜率為

2 3

3

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）通過離心率得到a、c關系，通過A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx-2，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）將y=kx-2代入

x2

4

+y2=1，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．

解答： 解：（Ⅰ） 設F（c，0），由條件知

2

c

=

2 3

3

，得c=

3

?又

c

a

=

3

2

，
所以a=2?，b²=a²-c²=1，故E的方程

x2

4

+y2=1．…．（6分）
（Ⅱ）依題意當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx-2，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
將y=kx-2代入

x2

4

+y2=1，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
當△=16（4k²-3）＞0，即k2＞

3

4

時，x1，2=

8k±2 4k2-3

1+4k2

從而|PQ|=

k2+1

|x1-x2|=

4 k2+1 • 4k2-3

1+4k2

?
又點O到直線PQ的距離d=

2

k2+1

，所以△OPQ的面積S△OPQ=

1

2

d|PQ|=

4 4K2-3

1+4K2

，
設

4k2-3

=t，則t＞0，S△OPQ=

4t

t2+4

=

4

t+ 4 t

≤1，
當且僅當t=2，k=±

7

2

等號成立，且滿足△＞0，
所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為：y=

7

2

x-2或y=-

7

2

x-2．…（12分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．