AB和平面M所成的角是α,AC在平面M內(nèi),AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是β,設(shè)∠BAC=θ,求證:α、β、θ滿足關(guān)系式cosθ=cosα·cosβ.

證明:如圖,在B和AC確定的平面內(nèi)作BD⊥AC,D為垂足,連結(jié)B1D.

∵BB1⊥平面M,AC平面M,

∴BB1⊥AC.

∴AC⊥平面BB1D,AC⊥B1D.

在Rt△ADB中,cosθ=AD∶AB,

在Rt△ABB1中,cosα=AB1∶AB,

在Rt△ADB1中,cosβ=AD∶AB1,

∴cosα·cosβ==cosθ,

即cosθ=cosα·cosβ.

小結(jié):由cosθ=cosα·cosβ,顯然有cosθ＜cosα,由于α和θ都是銳角,故α＜θ,即斜線和平面所成的角是斜線和平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•衡陽(yáng)模擬）如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點(diǎn)，AC⊥BC，且AC=BC．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面EBC；
（Ⅱ）求直線AB與平面EBC所成的角的大�。�
（Ⅲ）求二面角A-EB-C的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且SA=AB=BC=1，AD=
12
．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：DM∥平面SAB；
（3）求直線SC和平面SAB所成的角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且SA=AB=BC=1，AD=
12
．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：DM∥平面SAB；
（3）求直線SC和平面SAB所成的角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

AB和平面M所成的角是a，AC在平面M內(nèi)，AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是b，設(shè)∠BAC=q，

求證：a、b、q滿足關(guān)系式cosq=cosa·cosb

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案