AB和平面M所成的角是a，AC在平面M內(nèi)，AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是b，設(shè)∠BAC=q，

求證：a、b、q滿足關(guān)系式cosq=cosa·cosb

 

答案：
解析：

證明：如圖，在B和AC確定的平面內(nèi)作BD⊥AC，D為垂足，連結(jié)B1D．

∵BB1⊥平面M，AC平面M，∴BB1⊥AC．

∴AC⊥平面BB1D，AC⊥B1D．

在Rt△ADB中，cosq=AD：AB，

在Rt△ABB1中，cosa=AB1：AB，

在Rt△ADB1中，cosb=AD：AB1，

∴cosa·cosb=·==cosq，

即cosq=cosa·cosb

點評：由cosq=cosa·cosb，顯然有cosq<cosa，由于a和q都是銳角，故a<q，即斜線和平面所成的角是斜線和平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角．

 


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•衡陽模擬）如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點，AC⊥BC，且AC=BC．
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（Ⅱ）求直線AB與平面EBC所成的角的大��；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，點M是SC的中點，且SA=AB=BC=1，AD=
12
．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：DM∥平面SAB；
（3）求直線SC和平面SAB所成的角的正弦值．

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12
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（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：DM∥平面SAB；
（3）求直線SC和平面SAB所成的角的正弦值．

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AB和平面M所成的角是α,AC在平面M內(nèi),AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是β,設(shè)∠BAC=θ,求證:α、β、θ滿足關(guān)系式cosθ=cosα·cosβ.

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