Question

已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga₁、lga₂、lga₄成等差數(shù)列．又bn=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果數(shù)列{b_n}前3項(xiàng)的和等于

7

24

，求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公差d．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}中首項(xiàng)為a₁，公差為d．lga₁，lga₂，lga₄成等差數(shù)列，把₁1和d代入求得d，進(jìn)而分別當(dāng)d=0，整理可得 b_n+1•b_n=1，進(jìn)而判斷出{b_n}為等比數(shù)列；進(jìn)而討論d=a₁時(shí)，整理即可判斷出{b_n}為等比數(shù)列．
（Ⅱ）把第一問所求結(jié)論分別代入即可求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公差d．

解答：解：（Ⅰ）證明：設(shè){a_n}中首項(xiàng)為a₁，公差為d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差數(shù)列∴2lga₂=lga₁+lga₄
∴a₂²=a₁•a₄．
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）∴d=0或d=a₁．
當(dāng)d=0時(shí)，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，∴

bn+1

bn

=1，∴{b_n}為等比數(shù)列；
當(dāng)d=a₁時(shí)，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，∴

bn+1

bn

=

1

2

，∴{b_n}為等比數(shù)列．
綜上可知{b_n}為等比數(shù)列．
（Ⅱ）當(dāng)d=0時(shí)，s3=b1+b2+b3=

3

a1

=

7

24

，所以a₁=

72

7

；
當(dāng)d=a₁時(shí)，S3=

1

21•a1

+

1

22•a1

+

1

23•a1

=

7

24

，
所以

7

8a1

=

7

24

，故a₁=3=d．
綜上可知

a1= 72 7 d=0

或

a1=3 d=3

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合以及分類討論思想的應(yīng)用，涉及數(shù)列的公式多，復(fù)雜多樣，故應(yīng)多下點(diǎn)功夫記憶．