Question

已知{a_n}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga₁、lga₂、lga₄成等差數(shù)列．又b_n=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果無窮等比數(shù)列{b_n}各項的和S=

1

3

，求數(shù)列{a_n}的首項a₁和公差d．
（注：無窮數(shù)列各項的和即當(dāng)n→∞時數(shù)列前項和的極限）

Answer 1

分析：（1）設(shè){a_n}中首項為a₁，公差為d．lga₁，lga₂，lga₄成等差數(shù)列，把a₁和d代入求得d，進而分別看當(dāng)d=0，整理可得

bn+1

bn

=1，進而判斷出{b_n}為等比數(shù)列；進而看d=a₁時，整理

bn+1

bn

=

1

2

，判斷出{b_n}為等比數(shù)列．
（2）無窮等比數(shù)列{b_n}各項的和S=

1

3

．進而求得q和d，根據(jù)等比數(shù)列的前n項的和極限，進而得d．

解答：（1）證明：設(shè){a_n}中首項為a₁，公差為d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差數(shù)列∴2lga₂=lga₁+lga₄∴a₂²=a₁•a₄．
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）∴d=0或d=a₁．
當(dāng)d=0時，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，∴

bn+1

bn

=1，∴{b_n}為等比數(shù)列；
當(dāng)d=a₁時，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，∴

bn+1

bn

=

1

2

，∴{b_n}為等比數(shù)列．
綜上可知{b_n}為等比數(shù)列．
（2）解：∵無窮等比數(shù)列{b_n}各項的和S=

1

3

．
∴|q|＜1，由（1）知，q=

1

2

，d=a₁．b_n=

1

a2n

=

1

2na1

∴S=

b1

1-q

=

1 a2

1-q

=

1 2a1

1- 1 2

=

1

a1

=

1

3

，∴a₁=3．
∴

a1=3 d=3

．

點評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定．?dāng)?shù)列與不等式，極限，函數(shù)等知識是常考的地方，屬于中點．