Question

如圖所示，有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于在河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最��？

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：根據(jù)題意知只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置才能使總運(yùn)費(fèi)最省．設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則 　　∵BD＝40，AC＝50－x， 　　∴BC＝． 　　又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有 　　y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50)． 　　＝，令＝0，解得x＝30． 　　在(0，50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的意義，函數(shù)在x＝30 km處取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20(km)． 　　∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處可使水管費(fèi)用最�。� 　　方法二：設(shè)∠BCD＝，則BC＝，CD＝40·cot(0＜＜)， 　　∴AC＝50－40·cot． 　　設(shè)總的水管費(fèi)用為f()，依題意，有 　　f()＝3a(50－40·cot)＋5a· 　　＝150a＋40a· 　　∴()＝40a·． 　　令()＝0，得cos＝． 　　根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)cos＝時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)sin＝．∴cot＝． 　　∴AC＝50－40cot＝20(km)， 　　即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處可使水管費(fèi)用最省． 　　思路分析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形特征合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選擇變?cè)�，�?gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置．

提示：

本題除正確掌握用導(dǎo)數(shù)解實(shí)際應(yīng)用題的方法和步驟外，還應(yīng)有運(yùn)用與三角函數(shù)結(jié)合的能力．