Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2013^x+log₂₀₁₃x，則方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得到f（0）=0，然后，當(dāng)x＞0時(shí)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=-2013^x y=log₂₀₁₃x，可以得到圖象有一個(gè)交點(diǎn)，得到方程有一個(gè)實(shí)根，然后，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到相應(yīng)的方程的根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：∵在R上的奇函數(shù)f（x），
∴f（0）=0，
∴x=0是方程f（x）=0的一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2013^x+log₂₀₁₃x=0，
∴-2013^x=log₂₀₁₃x，
設(shè)函數(shù)y=-2013^x y=log₂₀₁₃x，
在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖象如下：

∴當(dāng)x＞0時(shí)，該方程有一個(gè)實(shí)根，
又∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴它們的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，該方程也有一個(gè)實(shí)根，
總之，該方程有三個(gè)實(shí)根，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)為奇函數(shù)及其性質(zhì)，屬于中檔題，掌握數(shù)形結(jié)合思想在求解問(wèn)題中的靈活運(yùn)用．