Question

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋x²－ax，其中a，x∈R．

(Ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)若x∈[0，3]時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝0處取得最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，．， 　　由得， 　　即當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為．　3分 　　(Ⅱ)解法一： 　　依題意知方程在區(qū)間(1，2)內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn)，　5分 　　而，由得 　　∵x∈(1，2)，∴，∴； 　　令(x∈(1，2))，則， 　　∴在區(qū)間(1，2)上是單調(diào)遞增函數(shù)，其值域?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3983/0022/3c52739c204cdf90c1405be3ecc046c1/C/Image231.gif" width=64 HEIGHT=41>， 　　故a的取值范圍是．　8分 　　解法二： 　　依題意知方程即在區(qū)間(1，2)內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn)， 　　當(dāng)a＝0時(shí)，得x＝0，但0(1，2)； 　　當(dāng)a≠0時(shí)，方程的△＝4＋12a2＞0，，必有兩異號(hào)根， 　　欲使f(x)在區(qū)間(1，2)上不是單調(diào)函數(shù)，方程在(1，2)內(nèi)一定有一根，設(shè)，則F(1)·F(2)＜0， 　　即(2a＋2)(11a＋4)＜0，解得， 　　故a的取值范圍是．(解法二得分標(biāo)準(zhǔn)類比解法一) 　　(Ⅲ)由題可知當(dāng)[0，3]時(shí)，即恒成立， 　　又[0，3]，則恒成立．　9分 　　記 　　當(dāng)時(shí)，在[0，3]時(shí)恒成立，符合題意； 　　當(dāng)時(shí)，由于，則不符合題意； 　　當(dāng)時(shí)，由于，則只需，得， 　　即．　12分 　　綜上，．　13分