Question

校足球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個(gè)足球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球），3 個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）．每次訓(xùn)練都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回．
（1）設(shè)第二次訓(xùn)練后新球的個(gè)數(shù)至少為2的概率；
（2）若第一次訓(xùn)練恰取出一個(gè)新球，求第三次訓(xùn)練后新球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列并求出其期望Eξ

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)兩次訓(xùn)練后剩下的新球個(gè)數(shù)為X，求出P（X=3），P（X=2）然后求解P（X≥2）．
（2）由于第一次訓(xùn)練恰取出一個(gè)新球，故此時(shí)剩下兩個(gè)新球，四個(gè)舊球，則ξ=0，1，2求出分布列，然后求解期望．

解答： （理）解：（1）設(shè)兩次訓(xùn)練后剩下的新球個(gè)數(shù)為X，則P（X≥2）=P（X=3）+P（X=2）P(X=2)=

C 1 3 • C 1 3

C 2 6

•

C 0 2 • C 2 4

C 2 6

+

C 0 3 • C 2 3

C 2 6

•

C 1 3 • C 1 3

C 2 6

=

9

25

，P(X=3)=(

C 0 3 • C 2 3

C 2 6

)2=

1

25

故P(X≥2)=P(X=3)+P(X=2)=

2

5

（2）由于第一次訓(xùn)練恰取出一個(gè)新球，故此時(shí)剩下兩個(gè)新球，四個(gè)舊球，則ξ=0，1，2
故P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

•

C 0 1 • C 2 5

C 2 6

+

C 0 2 • C 2 4

C 2 6

•

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

=

128

225

，P(ξ=2)=(

C 0 2 • C 2 4

C 2 6

)2=

4

25

，即P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=

61

225

，
故分布列為：

ξ	0	1	2
P	61 225	128 225	4 25

因此Eξ=0×

61

225

+1×

128

225

+2×

4

25

=

8

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．