Question

如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點.

(1)求證:PB∥平面EFG;

(2)求異面直線EG與BD所成的角的余弦值;

(3)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離為,若存在,求出CQ的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解法一:(1)證明:取AB為中點H,連結(jié)GH,HE,

∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點,

∴GH∥AD∥EF.

∴E,F,G,H四點共面.

又H為AB中點,∴EH∥PB.

又EH面EFG,PB平面EFG,

∴PB∥面EFG.

(2)取BC的中點M,連結(jié)GM、AM、EM,則GM∥BD,

∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角.

在Rt△MAE中,EM==,

同理EG=6,又GM=BD=,

∴在Rt△MGE中,cos∠EGM=.

故異面直線EG與BD所成角的余弦值為.

(3)假設(shè)在線段CD上存在一點Q,滿足題設(shè)條件,過點Q作OR⊥AB于點R,連結(jié)RE,則QR∥AD.

∵四邊形ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,

∴AD⊥AB,AD⊥PA.又AB∩PA=A,

∴AD⊥平面PAB.

又∵E,F分別是PA,PD的中點,

∴EF∥AD.∴EF⊥平面PAB.

又EF面EFQ,∴EFQ⊥平面PAB.

過A作AT⊥ER于點T,則AT⊥面EFQ,

∴AT就是點A到平面EFQ的距離.

設(shè)CQ=x(0≤x≤2),則BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,

在Rt△EAR中,AT==,

解得x=.

故存在點Q,當CQ=時,點A到平面EFQ的距離為.

解法二:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)—xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).

(1)證明:∵=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),

設(shè)=s+t,

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),解得s=t=2.

∴=2+2.

又∵與不共線,

∴,與共面.

∵平面EFG,∴PB∥平面EFG.

(2)∵=(1,2,-1),=(-2,2,0),

∴cos〈,〉=.

故平面直線EG與BD所成角的余弦值為.

(3)假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足題設(shè)條件.

令CQ=m(0≤m≤2),則DQ=2-m.∴點Q的坐標為(2-m,2,0).

∴(2-m,2,-1).而=(0,1,0),

設(shè)平面EFQ的法向量為n(x,y,z),則

∴令x=1,則n=(1,0,2-m).

又=(0,0,1),

∴點A到平面EFQ的距離d==,

即(2-m)²=.

∴m=或m=＞2不合題意,舍去.

故存在點Q,當CQ=時,點A到平面EFQ的距離為.