Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點(diǎn)，過(guò)A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M．
（Ⅰ）求證：AD∥MN；
（Ⅱ）求證：平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

分析：（1）先證BC∥平面ADMN，后利用線面平行性質(zhì)定理得到MN∥BC，再由平行公里即可得到AD∥MN；
（2）取AD中點(diǎn)O，連接BO，PO，可證AD⊥平面POB．可得AD⊥PB，再利用PB⊥AN，得到PB⊥平面ADMN，即可得證平面PBC⊥平面ADMN．

解答：解：（1）∵AD∥BC，AD?平面ADMN，BC?平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN，
∵M(jìn)N=平面ADMN∩平面PBC，BC?平面PBC，
∴BC∥MN．
又∵AD∥BC，∴AD∥MN．
（2）取AD中點(diǎn)O，連接BO，PO，
∵側(cè)面PAD是正三角形，∴AD⊥PO，
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，
∴AD⊥OB，
又PO∩BO=O，
∴AD⊥平面POB．
∵PB?平面POB
所以AD⊥PB，
又PB⊥AN，AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN
又∵PB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與直線平行，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．