Question

【題目】為回饋顧客，新華都購物商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為40元，其余3個所標的面值均為20元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，并規(guī)定袋中的4個球由標有面值為20元和40元的兩種球共同組成，或標有面值為15元和45元的兩種球共同組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡．請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由．

提示：袋中的4個球由標有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個球所標的面值“既有a元又有b元”．

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；期望為50；（2）應(yīng)該選擇面值設(shè)計方案“”，即標有面值元和面值元的球各兩個

【解析】

（1）設(shè)顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為,分別求出對應(yīng)概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望為60元，討論兩種方案：若選擇“”的面值設(shè)計，只有“”的面值組合符合期望為60元，求出方差；當球標有的面值為元和元時，面值設(shè)計是“”符合期望為60元，求出方差，比較兩種情況的方差，即可得出結(jié)論.

解：（1）設(shè)顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為.

，，

所以的分布列如下：

所以顧客所獲的獎勵額的期望為

（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為元.

所以可先尋找使期望為60元的可能方案：

當球標有的面值為元和元時，

若選擇“”的面值設(shè)計，因為元是面值之和的最大值，所以期望不可能為；

若選擇“”的面值設(shè)計，因為元是面值之和的最小值，所以期望不可能為.

因此可能的面值設(shè)計是選擇“”，

設(shè)此方案中顧客所獲得獎勵額為，則的可能取值為.

.

的分布列如下：

所以的期望為

的方差為

當球標有的面值為元和元時，同理可排除“”、“ ”的面值設(shè)計，

所以可能的面值設(shè)計是選擇“”，

設(shè)此方案中顧客所獲的獎勵額為，則的可能取值為.

.

的分布列如下：

所以的期望為

的方差為

因為

即兩種方案獎勵額的期望都符合要求，

但面值設(shè)計方案“”的獎勵額的方差要比面值設(shè)計方案“”的方差小，

所以應(yīng)該選擇面值設(shè)計方案“”，即標有面值元和面值元的球各兩個.