Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝.(a>0)

(1)若a＝1，證明：y＝f(x)在R上單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)a>1時(shí)，討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)≤f(1)＝0；

當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，且此時(shí)f(x)>0.

所以y＝f(x)在R上單調(diào)遞減．

(2)若x≥a，則f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，

所以此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，令g(a)＝f(a)＝ln a－a2＋1，

則g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)<g(1)＝0，

即f(x)≤f(a)<0，故f(x)在[a，＋∞)上無(wú)零點(diǎn)．

當(dāng)x<a時(shí)，f′(x)＝ex－1＋a－2，

①當(dāng)a>2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此時(shí)f(x)在上有一個(gè)零點(diǎn)．

②當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝ex－1，此時(shí)f(x)在(－∞，2)上沒(méi)有零點(diǎn)．

③當(dāng)1<a<2時(shí)，令f′(x0)＝0，解得x0＝ln(2－a)＋1<1<a，所以f(x)在(－∞，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，a)上單調(diào)遞增．

f(x0)＝e＋(a－2)x0＝e (1－x0)>0，

所以此時(shí)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)1<a≤2時(shí)，f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．