【題目】如圖,已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,短軸長為2,直線l與圓O:x2+y2相切,且與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)證明:為定值.
【答案】(1)1;(2)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系列式求解即可.
(2)由題可設(shè)直線,再根據(jù)直線與圓相切可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程求得的解析式,再代入化簡(jiǎn)求值即可.
(1)解:由題意可得:,2b=2,a2=b2+c2,聯(lián)立解得a=2,b=1,c.
∴橢圓C的方程為1.
(2)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l的方程為:my=x﹣t,
∵直線l與圓O:x2+y2相切,
則,化為:5t2=4m2+4.
聯(lián)立,化為:(m2+4)y2+2mty+t2﹣4=0,△>0.
∴y1+y2,y1y2,
x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2.
∴x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2
=(m2+1)mt()+t20,
直線l的斜率為0時(shí),上式也成立.
因此0為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】眼保健操是一種眼睛的保健體操,主要是通過按摩眼部穴位,調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán),調(diào)節(jié)肌肉,改善眼的疲勞,達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對(duì)改善學(xué)生視力的效果,在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查,并得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以上的人數(shù);
(2)為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系,對(duì)年級(jí)不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,得到下表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系?
(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人,進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣,在這8人中任取2人,記堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司新發(fā)明了甲、乙兩種不同型號(hào)的手機(jī),公司統(tǒng)計(jì)了消費(fèi)者對(duì)這兩種型號(hào)手機(jī)的評(píng)分情況,作出如下的雷達(dá)圖,則下列說法不正確的是( )
A. 甲型號(hào)手機(jī)在外觀方面比較好.B. 甲、乙兩型號(hào)的系統(tǒng)評(píng)分相同.
C. 甲型號(hào)手機(jī)在性能方面比較好.D. 乙型號(hào)手機(jī)在拍照方面比較好.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+2φ)為偶函數(shù),其中φ∈(0,),則下列關(guān)于函數(shù)g(x)=sin(2x+φ)的描述正確的是( )
A.g(x)在區(qū)間[]上的最小值為﹣1
B.g(x)的圖象可由函數(shù)f(x)的圖象向上平移一個(gè)單位,再向右平移個(gè)單位長度得到
C.g(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(,0)
D.g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[0,]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某娛樂節(jié)目參賽選手分初賽培訓(xùn)、復(fù)賽三個(gè)階段選拔,將50位參選手的初賽成績(總分150分)分成[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140)5組進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分析直方圖,估算這50個(gè)選手初賽成績的平均分,若節(jié)日組規(guī)定成績大于或等于120分的選手可獲得節(jié)目組組織的培訓(xùn)資格,120分以下(不包括120)的則被淘汰,求這50個(gè)人中獲得培訓(xùn)資格的人數(shù);
(2)節(jié)目組從獲得培訓(xùn)資格的人員中選拔部分人員進(jìn)入復(fù)賽.為增加節(jié)目的娛樂性,節(jié)目組提供了以下兩種進(jìn)入復(fù)賽的方式(每位選手只能選擇其中一種)
第一種方式:利用分層抽樣的方法抽取6名選手參加復(fù)賽;
第二種方式:每人最多有5次答題機(jī)會(huì),累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題終止答題,答對(duì)3題可參加復(fù)賽
①已知甲的初賽成績?cè)?/span>[120,130)內(nèi),他答對(duì)每一個(gè)問題的概率為,并且互相之間沒有影響甲要想?yún)⒓訌?fù)賽,選擇那種方式更有利?
②若甲選擇第二種方式,求他在答題過程中答題個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其定義域?yàn)?/span>.(其中常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)求函數(shù)的遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)為定義域上的增函數(shù),且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形, , , , 點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在線段上,且, ,M在線段上,且.
(Ⅰ)證明: 平面;
(Ⅱ)在線段AD上確定一點(diǎn)F,使得平面平面PAB,并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年9月15中秋節(jié)(農(nóng)歷八月十五)到來之際,某月餅銷售企業(yè)進(jìn)行了一項(xiàng)網(wǎng)上調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
男 | 女 | 合計(jì) | |
喜歡吃月餅人數(shù)(單位:萬人) | 50 | 40 | 90 |
不喜歡吃月餅人數(shù)(單位:萬人) | 30 | 20 | 50 |
合計(jì) | 80 | 60 | 140 |
為了進(jìn)一步了解中秋節(jié)期間月餅的消費(fèi)量,對(duì)參與調(diào)查的喜歡吃月餅的網(wǎng)友中秋節(jié)期間消費(fèi)月餅的數(shù)量進(jìn)行了抽樣調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
已知該月餅廠所在銷售范圍內(nèi)有30萬人,并且該廠每年的銷售份額約占市場(chǎng)總量的35%.
(1)試根據(jù)所給數(shù)據(jù)分析,能否有以上的把握認(rèn)為,喜歡吃月餅與性別有關(guān)?
參考公式與臨界值表:,
其中:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
(2)若忽略不喜歡月餅者的消費(fèi)量,請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì):該月餅廠恰好生產(chǎn)多少噸月餅恰好能滿足市場(chǎng)需求?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)和到直線的距離之比為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,過點(diǎn)作垂直于軸的直線與曲線相交于兩點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),與相交于一點(diǎn)(交點(diǎn)位于線段上,且與不重合).
(1)求曲線的方程;
(2)當(dāng)直線與圓相切時(shí),四邊形的面積是否有最大值?若有,求出其最大值及對(duì)應(yīng)的直線的方程;若沒有,請(qǐng)說明理由.
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