Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，其中a₁=3.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點(diǎn)（n,S_n）也在y=f′(x)的圖象上；

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值.

Answer 1

(Ⅰ)證明：因?yàn)?sub>所以′(x)=x²+2x,

    由點(diǎn)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,得，

       即，又所以，

       又因?yàn)?sub>_{1 ，}所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公差為2得等差數(shù)列。

              所以,又因?yàn)?sub>′(n)=n²+2n,所以,

    故點(diǎn)也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上. 

(Ⅱ)解:,

由得.

當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:

x	(-∞,-2)	-2	(-2,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		極大值		極小值

注意到,從而

①當(dāng),此時(shí)無極小值；

②當(dāng)的極小值為,此時(shí)無極大值；

③當(dāng)既無極大值又無極小值.