Question

已知函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052517551503125493/SYS201205251757389843271479_ST.files/image002.png">（）,設(shè)．

（1）試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（2）求證:；

（3）求證:對(duì)于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個(gè)數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1） 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052517551503125493/SYS201205251757389843271479_DA.files/image001.png">

由；由,

所以在上遞增,在上遞減

欲在上為單調(diào)函數(shù),則            -----------------3分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052517551503125493/SYS201205251757389843271479_DA.files/image004.png">在上遞增,在上遞減,

所以在處取得極小值 

又,所以在上的最小值為 

從而當(dāng)時(shí),,即                -----------------6分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052517551503125493/SYS201205251757389843271479_DA.files/image017.png">,所以即為,

 令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程                  =0在上有解,并討論解的個(gè)數(shù)  --------7分                  

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052517551503125493/SYS201205251757389843271479_DA.files/image022.png">,

,             --------------8分

所以 ① 當(dāng)時(shí),,

所以在上有解,且只有一解

② 當(dāng)時(shí),,但由于,

所以在上有解,且有兩解

③ 當(dāng)時(shí),,

所以在上有且只有一解；

④ 當(dāng)時(shí),在上也有且只有一解    ------------10分

綜上所述, 對(duì)于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；

當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題．

【解析】略