Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F（

3

，0）和直線l：x=

4

3

的距離之比為

3

2

．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)（0，-2）的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過(guò)曲線C的中心，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線的一般式方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接由題意列式，整理后即可得到曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，寫出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積，然后由向量數(shù)量積為0得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由題意得，

(x- 3 )2+y2

|x- 4 3 |

=

3

2

，兩邊平方后整理得：

x2

4

+y2=1．
故曲線C的方程為：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組

x2 4 +y2=1 y=kx-2

，得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
則x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，
∵以AB為直徑的圓過(guò)曲線C的中心，
∴

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
∴(1+k2)•

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，
解得：k=2或k=-2，
經(jīng)檢驗(yàn)符合△＞0．
∴直線l的方程為：y=2x-2或y=-2x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．