Question

已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0）為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，則|OM|的取值范圍是（ ）
A．（0，c）
B．（0，a）
C．（b，a）
D．（c，a）

Answer 1

【答案】分析：利用M是∠F₁PF₂平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉(zhuǎn)化為用橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍．
解答：解：如圖，延長(zhǎng)PF₂，F(xiàn)₁M，交與N點(diǎn)，∵PM是∠F₁PF₂平分線，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點(diǎn)，
連接OM，∵O為F₁F₂中點(diǎn)，M為F₁N中點(diǎn)
∴|OM|=|F₂N|=||PN|-|PF₂||=||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓 中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
則|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex-a+ex|=|2ex|=|x|
∵P點(diǎn)在橢圓 上，
∴|x|∈（0，a]，
又∵當(dāng)|x|=a時(shí)，F(xiàn)₁M⊥MP不成立，∴|x|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．