Question

【題目】已知橢圓和圓，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)直線與圓相切時，．

（I）求的方程；

（Ⅱ）直線與橢圓和圓都相切，切點(diǎn)分別為、，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根據(jù)已知條件求得和的值，由此可得出橢圓的方程；

（Ⅱ）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得出直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積的最大值．

（Ⅰ）由題可知．①

設(shè)，則由與圓相切時，得，即．②

將①②代入，解得，所以橢圓的方程為；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，

將代入得．

由直線與橢圓相切得，即，且，

由直線與圓相切，設(shè)，與聯(lián)立得，

設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則．

所以的面積為，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

所以的面積的最大值為．